Función
Una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Codominio.
- Todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.
- Toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función.
- Todas las Relaciones y Funciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano.
Una función f : A → B es una relación de A en B (es decir, un subconjunto de A × B) tal que cada a ∈ A pertenece a un par ordenado único (a, b) en f.
Dos funciones f : A → B y g : A → B se definen como iguales, lo que se escribe f = g, si f (a) = g(a) para toda a ∈ A;
Composición de funciones
Considere las funciones f : A → B y g: B → C; donde el codominio de f es el dominio de g. Entonces es posible definir una nueva función de A en C, la cual se denomina composición de f y g y se denota g ◦ f :
(g ◦ f )(a) ≡ g( f (a))
Tipos de Funciones
Funciones Uno a Uno o Inyectivas
Se dice que una función f : A → B es uno a uno (que se escribe 1-1) si elementos diferentes en el dominio A tienen imágenes distintas.
Funciones Sobre o Sobreyectivas o Suprayectivas
Una función f : A → B se dice que es sobre, si cada elemento de B es la imagen de algún elemento de A.
Funciones Invertibles o Biyectivas
Una función f : A → B es invertible si su relación inversa f-1 es una función de B a A. En general, la relación inversa f-1 puede no ser una función, o, Una función f : A → B es invertible si y sólo si f es uno a uno y sobre.
Funciones Matemáticas
Función Valor Entero ( / )
Sea x cualquier número real. El valor entero de x, escrito INT(x), convierte a x en un entero al eliminar (truncar) la parte fraccionaria del número.
Ejemplos:
INT(3.14) = 3, INT(√5) = 2, INT(−8.5) = −8, INT(7) = 7
Función Valor Absoluto (Math.abs(x))
El valor absoluto del número real x, escrito ABS(x) o | x |, se define como el mayor de x o −x.
Ejemplos:
| − 15| = 15, |7| = 7, | − 3.33| = 3.33, |4.44| = 4.44, | − 0.075| = 0.075
Función Residuo ( % )
Sean k cualquier entero y M un entero positivo. Entonces k (mód M) (que se lee: k módulo M) denota el residuo entero cuando M divide a k.
Ejemplos:
Para obtener el residuo r se divide k entre M. Así,
25 (mód 7) = 4, 25 (mód 5) = 0, 35 (mód 11) = 2, 3 (mód 8) = 3
Función Exponencial (Funciones Math.pow (x,n); Math.sqrt (x); Math.cbrt (x))
Se define para a, la base y m, el exponente, donde m es un entero positivo,
am = a ・ a ・ ・ ・ a(m veces), que cumple que a0 = 1, a1 = a, a-m = 1/am
Los exponentes se extienden para incluir todos los números racionales al definir, para cualquier número racional m/n, am/n = n√am = (n√a) m
Ejemplos:
24 = 16, 2-4 = 1/24 = 1/16, 1252/3 = 52 = 25
Función Logarítmica Math.log10(numero);
Sea b un número positivo. El logaritmo de cualquier número positivo x con base b se escribe, logb x y representa el exponente al que debe elevarse b para obtener x.
Es decir, y = logb x y by = x, son declaraciones equivalentes
Ejemplos:
log2 8 = 3 puesto que 23 = 8; log10 100 = 2 puesto que 102 = 100
log2 64 = 6 puesto que 26 = 64; log10 0.001 = −3 puesto que 10-3 = 0.001
Sucesiones
Una sucesión es una función del conjunto N = {1, 2, 3, . . .} de enteros positivos en un conjunto A. Para indicar la imagen del entero n se usa la notación an. Así, una sucesión suele denotarse por a1, a2, a3, . . . o {an: n ∈ N} o simplemente {an}
Algunas veces el dominio de una sucesión es el conjunto {0, 1, 2, . . .} de enteros no negativos, en lugar de N. En este caso n empieza en 0 y no en 1.
Una sucesión finita sobre un conjunto A es una función de {1, 2, . . . , m} en A, y se denota con a1, a2, . . . , am. Algunas veces este tipo de sucesión finita se denomina lista o m-adas.
Ejemplos: Observe que la primera sucesión empieza en n = 1 y que la segunda lo hace en n = 0.
- 1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . que puede definirse mediante an = 1/n;
- 1, 1/2, 1/4, 1/8, . . . que puede definirse mediante bn = 2-n
Sumatoria
Aquí se presenta el símbolo de sumatoria (la letra griega sigma). Considere una sucesión a1, a2, a3, …. Entonces se define lo siguiente:
n n
∑ aj = a1 + a2 +・ ・ ・+an y ∑ aj = am + am+1 +・ ・ ・+an J=1 j=m
La letra j en las expresiones anteriores se denomina índice mudo o variable ficticia. Otras letras que suelen usarse como variables ficticias son i, k, s y t.
Ejemplos:
5 4
∑ j2 = 22 + 32 + 42 + 52 = 4 + 9 + 16 + 25 = 54 y ∑ k = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
j=2 k=1
Funciones Recursivas
Se dice que una función está definida en forma recursiva si la definición de la función se refiere a sí misma.
Función Factorial
El producto de los enteros positivos desde 1 hasta n, inclusive, se denomina “n factorial”, y se denota con n!
Es decir, n! = n(n − 1)(n − 2) ・ ・ ・ 3 ・ 2 ・ 1
a) Si n = 0, entonces n! = 1.
b) Si n > 0, entonces n! = n ・ (n − 1)!
Sucesión de Fibonacci
La sucesión de Fibonacci (que se denota con F0, F1, F2, . . .) es: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . .
Es decir, F0 = 0 y F1 = 1 y cada término sucesivo es la suma de los dos términos precedentes.
a) Si n = 0, o n = 1, entonces Fn = n.
b) Si n > 0, entonces Fn−2 + Fn−1.
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