Relación
Dados dos conjuntos A y B una relación definida de A en B es un conjunto de parejas ordenadas (par ordenado) que hacen verdadera una proposición; dicho de otro modo, una relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B.
El dominio de una relación R es el conjunto de todos los primeros elementos de los pares ordenados que pertenecen a R, y el rango es el conjunto de los segundos elementos
Sean A y B conjuntos. Una relación binaria, o simplemente una relación de A a B, es un subconjunto de A × B.
Suponga que R es una relación de A a B. Entonces R es un conjunto de pares ordenados donde el primer elemento proviene de A y el segundo proviene de B. Es decir, para cada par a ∈ A y b ∈ B, es verdadera exactamente una de las siguientes proposiciones:
i) (a, b) ∈ R; entonces se dice “a está relacionado con b”, lo que se escribe aRb.
ii) (a, b) ∉ R; entonces se dice “a no está relacionado con b”, lo que se escribe aRb.
De forma equivalente se puede escribe: aRb con R(a) = b, y aRb con R(a) ≠ b.
Si R es una relación del conjunto A en sí mismo; es decir, si R es un subconjunto de A2 = A × A, entonces se dice que R es una relación sobre A.
Relación Inversa
Sea R cualquier relación de un conjunto A a un conjunto B. La inversa de R, denotada por R−1, es la relación de B a A que consta de los pares ordenados que, cuando se invierten, pertenecen a R; es decir,
R−1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R}
Representaciones Gráficas de las relaciones
Los pares ordenados se pueden representar gráficamente por medio de diagramas sagitales, por matrices, por medio de puntos en el plano cartesiano o por gráficas dirigidas.
Composición entre Relaciones
Sean A, B y C conjuntos, R una relación de A a B y S una relación de B a C. Es decir, R es un subconjunto de A × B y S es un subconjunto de B × C. Entonces R y S originan una relación de A a C denotada por R ◦ S y definida por:
a(R ◦ S)c si para alguna b ∈ B se tiene aRb y bSc
Es decir,
R ◦ S = {(a, c) | existe b ∈ B para la cual (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ S}
La relación R ◦ S se denomina composición de R y S; algunas veces se denota simplemente por RS.
La composición se calcula también utilizando el producto entre las matrices MR y MS de las relaciones R y S. Entonces los elementos diferentes de cero de la matriz M resultante del producto son los pares ordenados de R ◦ S.
Tipos de Relaciones
Relaciones definidas sobre un conjunto A:
Relaciones Reflexivas
Una relación R sobre un conjunto A es reflexiva si aRa para toda a ∈ A; es decir, si (a, a) ∈ R para toda a ∈ A. Por tanto, R no es reflexiva si existe a ∈ A tal que (a, a) ∉ R.
Relaciones Simétricas
Una relación R sobre un conjunto A es simétrica si siempre que aRb entonces bRa; es decir, siempre que (a, b) ∈ R entonces (b, a) ∈ R. Por tanto, R no es simétrica si existen a, b ∈ A, tales que (a, b) ∈ R pero (b, a) ∉ R.
Relaciones Antisimétricas
Una relación R sobre un conjunto A es antisimétrica siempre que aRb y bRa entonces a = b; es decir, si a ≠ b y aRb, entonces bRa. Por tanto, R no es antisimétrica si existen elementos distintos a y b en A tales que aRb y bRa.
Relaciones Transitivas
Una relación R sobre un conjunto A es transitiva si siempre que aRb y bRc entonces aRc; es decir, siempre que (a, b), (b, c) ∈ R entonces (a, c) ∈ R. Por tanto, R no es transitiva si existe a, b, c ∈ R tal que (a, b), (b, c) ∈ R pero (a, c) ∉ R.
Relaciones de Equivalencia
Considere un conjunto S no vacío. Una relación R sobre S es una relación de equivalencia si R es reflexiva, simétrica y transitiva. Es decir, R es una relación de equivalencia sobre S si tiene las tres propiedades siguientes:
1)Para toda a ∈ S, aRa. 2)Si aRb, entonces bRa. 3)Si aRb y bRc, entonces aRc.
Relaciones de Orden Parcial
Una relación R sobre un conjunto S se denomina ordenamiento parcial u orden parcial de S si R es reflexiva, antisimétrica y transitiva.
Relaciones n-arias
Por una relación n-aria se entiende un conjunto de eneadas ordenadas.
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